Graiff Zurita, Sebastián (2015) Sistemas lagrangianos discretos: existencia de trayectoria. / Discrete lagrangian systems: existence of trajectories. Master in Physical Sciences, Universidad Nacional de Cuyo, Instituto Balseiro.
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Abstract in Spanish
Un problema básico de la Mecánica clásica es hallar la evolución de cada sistema mecánico. Este problema se traduce, según la formulación variacional (o lagrangiana), al de hallar los extremos de una funcional (la acción) sobre un espacio de caminos; y en última instancia, al de resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Dado que esto no siempre puede hacerse mediante técnicas analíticas, es usual hacerlo a través de métodos numéricos llamados, en forma genérica, integradores. En particular suelen emplearse integradores variacionales pues tienen en cuenta las estructuras subyacentes del problema en cuestión, como por ejemplo la conservación de estructuras simplécticas, permitiendo realizar simulaciones a tiempos prolongados. Los sistemas lagrangianos discretos son sistemas dinámicos discretos cuyas trayectorias, que se obtienen mediante un principio variacional, son integradores variacionales. Para los sistemas lagrangianos continuos existen condiciones muy naturales que garantizan existencia y unicidad de trayectorias, al menos para tiempos cortos. Motivados por este resultado, en el presente trabajo estudiaremos el problema de existencia y unicidad de trayectoria de los sistemas lagrangianos discretos. Veremos que éstos, en general, pueden poseer trayectorias únicas o múltiples para una misma condición inicial, y en algunos casos pueden no poseer trayectorias. Probaremos que, si un sistema lagrangiano posee una trayectoria, entonces posee una familia de trayectorias con condiciones iniciales cercanas a la primera. Además, estudiaremos los sistemas lagrangianos discretos que se obtienen al discretizar un sistema lagrangiano continuo, y veremos que bajo condiciones razonables podremos capturar las propiedades del sistema continuo y, de esta manera, garantizar la existencia y unicidad de trayectorias discretas para este tipo de sistema. Presentaremos la mayoría de los resultados desde dos puntos de vistas (según J. E. Marsden y M. West por un lado, y según C. Cuell y G. W. Patrick por el otro), y veremos que ambas nociones son equivalentes. Finalmente, también estudiaremos el problema de existencia y unicidad de trayectorias en el contexto de sistemas lagrangianos con fuerza, motivados principalmente por la conexión con los sistemas lagrangianos con vínculos. Para esto introducimos una noción (a la C. Cuell y G. W. Patrick) de sistema lagrangiano discreto con fuerza que no es la usual y, al igual que el caso sin fuerzas, probaremos que ambas nociones son equivalentes.
Abstract in English
A basic problem in Classical Mechanics is that of finding the evolution of a mechanical system. In the variational (or lagrangian) formulation, that problem turns into the one of finding the critical points of a certain functional -the action- on a space of paths which, eventually, becomes one of solving an ordinary differential equation. As this last problem cannot always be solved analytically, it is usually approached numerically using codes known as integrators. One such possibility is that of variational integrators that take into account the underlying structures of the system like, for instance, the preservation of symplectic structures which, in turn, allows for a better quality simulation of the evolution for long time periods. The so called discrete lagrangian systems are discrete-time dynamical systems whose trajectories are obtained via a variational principle and can be used to produce variational integrators. There are very natural conditions that ensure the existence and uniqueness of trajectories of continuous-time lagrangian systems, at least for short periods of time. Motivated by these results, in this Thesis we study the existence and uniqueness of trajectories for discrete lagrangian systems. We see that these can be unique or, for a single initial condition, have multiple trajectories or, even, none. We prove that if a regular discrete lagrangian system has a trajectory, then it has a family of trajectories with initial condition close to the one of the given one. Also, we study the discrete lagrangian systems that are obtained as discretizations of a (continuous-time) lagrangian system. In this case we are able to prove that, under certain conditions, the discrete system inherits several properties of the continuous system and, using these, prove the existence and uniqueness of trajectories for this type of discrete lagrangian system. Most of our results are presented from two different points of view: the more traditional one following J. Marsden and M. West, and a newer one, introduced by C. Cuell and G. Patrick. The results obtained either way are equivalent. Last, we also begin the study of forced lagrangian systems, essentially motivated by the connection between this type of system and the constrained lagrangian systems. We introduce a notion of forced discrete lagrangian system in the spirit of Cuell and Patrick and compare with the standard one, proving that they produce equivalent dynamical systems.
| Item Type: | Thesis (Master in Physical Sciences) |
|---|---|
| Keywords: | Lagrangian; Lagrangiana; [Geometric mechanics; Mecánica geometrica; Discrete lagrangian; Lagrangiano discreto; Discretization; Discretización] |
| References: | [1] R. Abraham, J. E. Marsden. Fundations of Mechanics. Addison-Wesley, 2nd edition (1978). [2] W. M. Boothby. An Introducion to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. Academic Press, Inc. (1986). [3] C. Cuell, G. W. Patrick. Skew Critial Problems. Regular and Chaotic Dynamics 12 (2007), No. 6, 589-601. [4] C. Cuell, G. W. Patrick. Geometric discrete analogues of tangent bundles and constrained Lagrangian systems. Journal of Geometry and Physics 59 (2009) 976-997. [5] E. Hairer, C. Lubich, G. Wanner. Geometric Numerical Integration. Springer, 2nd edition (2005). [6] L. D. Landau, E. M. Lifshitz. Mechanics. Reed Ed. and Prof. Publishing Ltd, 3rd edition (1993). [7] J. E. Marsden, T. Ratiu. Introduction to Mechanics and Symmetry. 2nd edition (1998). [8] J. E. Marsden, M. West. Discrete mechanics and variational integrators. Acta Numererica 10 (2001) 357-514. [9] G. W. Patrick, C. Cuell. Error analysis of variational integrators of uncontrained Lagrangian systems. Numer. Math. 113 (2009) 243-264. |
| Subjects: | Physics > Mathematical physics |
| Divisions: | Gcia. de área de Energía Nuclear > Gcia. Instituto Balseiro > Area de Matemática |
| ID Code: | 686 |
| Deposited By: | Tamara Cárcamo |
| Deposited On: | 20 Apr 2018 14:01 |
| Last Modified: | 23 Apr 2018 14:27 |
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