Amelio, Marcos S. (2018) La ecuación de Halmiton-Jacobi y la integrabilidad de los sistemas dinámicos. / The Halmiton-Jacobi equation and the integrability of dynamical systems. Maestría en Ciencias Físicas, Universidad Nacional de Cuyo, Instituto Balseiro.
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Resumen en español
La integrabilidad por cuadraturas de los sistemas hamiltonianos es uno de los temas más estudiados en el campo de la Mecánica Clásica. En este contexto, se entiende por integrabilidad por cuadraturas o solubilidad exacta de un sistema dinámico a la posibilidad de encontrar, a través de una serie de procedimientos, fórmulas explícitas para las trayectorias del sistema. Una de las herramientas más importantes a la hora de analizar la solubilidad exacta de los sistemas hamiltonianos es la ecuación de Hamilton-Jacobi clásica. En particular, es bien sabido que, si se tiene una familia suficientemente grande de soluciones de esta ecuación, existe un procedimiento para obtener a partir de ellas cualquier trayectoria del sistema, sin necesidad de resolver ninguna ecuación diferencial. Recientemente se ha desarrollado una nueva versión de la ecuación de Hamilton-Jacobi [1] que pone de manifesto una serie de propiedades geométricas de sus soluciones. Esta nueva versión, a la cual se hará referencia como ecuación de Hamilton-Jacobi generalizada, abre la posibilidad a su utilización en otro tipo de sistemas dinámicos. En este trabajo se estudia la integrabilidad de sistemas dinámicos principalmente desde el punto de vista de esta nueva versión de la ecuación. En primer lugar, se define y se analiza el concepto de criterio de integrabilidad para un sistema dinámico. Luego, se observa que, de manera similar a lo que ocurre con la versión clásica, existe una relación clara entre conocer una familia suficientemente grande de soluciones de la ecuación (con algunas características adicionales) y conocer las trayectorias del sistema, lo que permite enunciar nuevos criterios de integrabilidad basados en esta ecuación para sistemas dinámicos en general. Uno de los objetivos de esta tesis fue analizar desde un punto de vista teórico estos nuevos criterios. Además, a lo largo de este escrito se presentan resultados de la teoría de Hamilton-Jacobi, anteriormente conocidos y formulados en el lenguaje de la geometría diferencial, en el lenguaje del cálculo multivariable y el álgebra lineal, hecho que también constituyó uno de los objetivos del trabajo.
Resumen en inglés
The integrability by quadratures in hamiltonian systems is one of the most widely studied topics in Classical Mechanics. In this context, by integrability by quadratures or exact solvability of a dynamical system it is understood the possibility of finding, through a series of procedures, explicit formulas for the trajectories of the system. One of the most important tools used to analize the exact solvability of a hamiltonian system is the classical Hamilton-Jacobi equation. In particular, it is well known that, if a big enough family of solutions of the equation is known, such a procedure to obtain through them any trajectory of the system exists, with no need of solving any differential equation. Recently, a new version of the Hamilton-Jacobi equation has been developed [1], showing a series of geometric properties of its solutions. This new version, which will be referred to as the generalized Hamilton-Jacobi equation, can be used in dynamical systems other than hamiltonian systems. In this work the integrability by quadratures of dynamical systems is studied, mainly through the point of view of this new version of the Hamilton-Jacobi equation. First, the concept of an integrability criterion for a dynamical system is defined and analyzed. Then, it is shown that, in a similar manner to the classical version of the equation, a clear relation between knowing a big enough family of solutions of the generalized Hamilton-Jacobi equation and knowing the trajectories of the system exists, enunciating then some new integrability criteria based on the Hamilton-Jacobi equation for general dynamical systems. One of the objectives of this thesis was to analyze from a theoretical point of view this new criteria. Also, throughout this text some results of the Hamilton-Jacobi theory, previously known and formulated using the language of differential geometry, are presented using the language of multivariable calculus, which constituted an objective of this work itself.
| Tipo de objeto: | Tesis (Maestría en Ciencias Físicas) |
|---|---|
| Palabras Clave: | Hamilton-Jacobi equations; Ecuaciones de Hamilton-Jacobi; Dynamical systems; Sistemas dinámicos. |
| Referencias: | 1] Grillo, E., Sergio; Padrón. A hamilton-jacobi theory for general dynamical systems and integrability by quadratures in symplectic and poisson manifolds. Journal of Geometry and Physics, págs. 101-129, 2016. vii, ix, xi, 26, 41, 49 [2] Cariñena, e. a., José F. Geometric hamilton-jacobi theory. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, pags. 1417-1458, 2006. xi [3] Cariñena, e. a., José F. Geometric hamilton-jacobi theory for nonholonomic dynamical systems. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, pags. 431-454, 2010. xi [4] De León, e. a., M. A hamilton-jacobi theory on poisson manifolds. Journal of Geometric Mechanics, pags. 121-140, 2014. xi [5] De León, e. a., M. Linear almost poisson structures and hamilton-jacobi equation. application to nonholonomic mechanics. Journal of Geometric Mechanics, pags. 159-198, 2010. xi [6] Teschl, G. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. 2012. 1, 4 [7] Goldstein, H. Classical Mechanics. 3a ed. 2000. 5, 13, 14, 15 [8] Boothby, W. An Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry. 1975. 9, 41 [9] Liberman, C., P; Marle. Symplectic Geometry and Analytical Mechanics. 1987. 10 [10] Grillo, S. Non-conmutative integrability, exact solvability and the hamilton-jacobi theory. arXiv:1804.10958 [nlin.SI]. 10, 37 [11] Evans, L. Partial Differential Equations. 1997. 16 [12] Arnold, V. I. Mathematical methods of classical mechanics. 2a ed. 1991. 16 [13] Grillo, S. Existence of local isotropic solutions of the generalized hamilton-jacobi equations. En redacción. 37 [14] Montenegro, P. R. La Ecuación de Hamilton-Jacobi para Sistemas Mecánicos con Vínculos. Proyecto Fin de Carrera, Instituto Balseiro, 2012. |
| Materias: | Física > Sistemas complejos |
| Divisiones: | Investigación y aplicaciones no nucleares > Física > Física estadística |
| Código ID: | 755 |
| Depositado Por: | Tamara Cárcamo |
| Depositado En: | 03 Feb 2021 11:47 |
| Última Modificación: | 03 Feb 2021 11:47 |
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